8.3 Die drei Newton'schen Axiome

Quelle: Themenpool §8 · Mitschrift §4.4.2

Ein Axiom ist ein Grundprinzip einer Theorie. Aus Axiomen leitet man die ganze Theorie ab, ein Axiom selbst kann man aber nicht herleiten — es muss sich nur in der Praxis bewähren.

I. Axiom — Trägheitssatz

Ein Körper, auf den keine (resultierende) Kraft wirkt, verharrt in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung.

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem dieses Axiom gilt — also ein unbeschleunigtes System. Es ist eine Idealisierung: Ein perfektes Inertialsystem gibt es nirgends im Universum, aber gute Näherungen (ein antriebsloses Raumschiff fern von Himmelskörpern, ein gleichförmig fahrender Zug). Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt.

✎ Foucault'sches Pendel: Die Schwingungsebene ist (näherungsweise) ein Inertialsystem — sie behält ihre Lage im Raum bei, während sich die Erde darunter dreht. Das Pendel selbst ist keins (es wird ständig beschleunigt).

✎ Drehung der Schwingungsebene Schritt für Schritt. Weil die Schwingungsebene im Raum festbleibt, dreht sich die Erde unter ihr weg — vom Boden aus scheint sich die Ebene zu drehen. Die Zeit für eine volle Umdrehung relativ zum Boden ist:

$$T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$T_{\text{Dreh}}$	Drehperiode der Schwingungsebene (relativ zum Boden)	h
$T_{\text{Tag}}$	ein Sterntag (eine volle Erddrehung) $\approx 24$ h	h
$\phi$	geografische Breite des Standorts	°

Die Breite $\phi$ entscheidet alles:

1. Am Pol ($\phi ={90}^{\circ }$, $\sin {90}^{\circ }=1$): $T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$ — die Ebene dreht sich in genau einem Tag einmal ganz herum (hier dreht sich die Erde direkt unter dem Pendel hinweg).
2. Am Äquator ($\phi =0^{\circ }$, $\sin 0^{\circ }=0$): $T_{\text{Dreh}}\to \mathrm{\infty }$ — die Ebene dreht sich gar nicht.
3. Mittlere Breiten liegen dazwischen: In Wien ($\phi \approx {48}^{\circ }$) ist $T_{\text{Dreh}}={\displaystyle \frac{24\text{h}}{\sin {48}^{\circ }}}\approx 32$ h für eine volle Drehung.

Dass sich die Schwingungsebene überhaupt dreht, ist ein direkter Beweis für die Erddrehung — das Pendel „merkt" nichts von der Erde, es behält stur seine Ebene, und die Drehung darunter wird sichtbar.

✎ Ist die Erde selbst ein Inertialsystem? Streng genommen nein — sie rotiert und läuft auf einer gekrümmten Bahn um die Sonne. Bei kurzen Experimenten mit nicht zu großer Messgenauigkeit verhält sie sich aber wie eines; erst lang andauernde Experimente wie das Foucault-Pendel machen die Abweichung sichtbar. (Foucault wies die Erdrotation um 1850 in Paris nach — zuerst im Keller mit einem 2 m langen Pendel, dann öffentlich mit einem 11-m-Pendel in der Sternwarte.)

✎ Historische Eckdaten (Themenpool): Der berühmte öffentliche Versuch fand 1851 im Panthéon in Paris statt. Léon Foucault hängte dort ein 67 m langes Pendel mit einer 28 kg schweren Kugel auf — so lang und schwer, damit es stundenlang schwingt, ohne nennenswert abzubremsen, denn die Drehung der Schwingungsebene wird erst über viele Stunden deutlich sichtbar (in Paris ≈ 32 h für eine volle Drehung). Ein an der Kugel befestigter Stift zog im Sand am Boden Spuren — und die Spuren wanderten sichtbar weiter: der erste direkte, anschauliche Beweis der Erdrotation für jedermann.

✎ Echte Nachfrage: Foucault-Pendel am Südpol & das perfekte Inertialsystem: „Wie lange bräuchte das Pendel am Südpol für eine volle Drehung?" — Lehrer-Antwort: 24 h (am Pol $\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$; streng genommen ein Sterntag, 23 h 56 min). Zum Vergleich: Wien $24/\sin 48°\approx 32$ h (siehe oben). Warum gibt es kein perfektes Inertialsystem? (Original-Antwort) — weil die Gravitation überall ist („Die Gravitation ist überall"): Kein Ort im Universum ist wirklich kräftefrei, ein Inertialsystem bleibt immer eine Näherung. Genau das ist die Spur zum Äquivalenzprinzip — lokal lässt sich Gravitation durch ein beschleunigtes Bezugssystem „wegtransformieren".

II. Axiom — Kraftgesetz

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$\overrightarrow{F}$	Kraft	N
$m$	(träge) Masse	kg
$\overrightarrow{a}$	Beschleunigung	m/s²

Beschleunigung entsteht, wenn eine Kraft auf eine Masse wirkt. Ohne (resultierende) Kraft keine Beschleunigung. Das 2. Axiom ist die quantitative Verschärfung des 1.: Das 1. sagt dass eine Kraft nötig ist, um den Bewegungszustand zu ändern; das 2. sagt wie viel — die Beschleunigung ist der Kraft direkt proportional und der Masse umgekehrt proportional ($\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}/m$). Die Masse ist dabei das Maß der Trägheit: dieselbe Kraft beschleunigt eine große Masse weniger.

Aus der Formel folgen drei Lesarten (je nachdem, welche Größe man festhält):

1. $\overrightarrow{F}$ konstant → $m$ und $\overrightarrow{a}$ sind umgekehrt proportional ($a=F/m$): doppelte Masse → halbe Beschleunigung. (Dieselbe Schubkraft beschleunigt ein beladenes Auto langsamer als ein leeres.)
2. $m$ konstant → $\overrightarrow{F}$ und $\overrightarrow{a}$ sind direkt proportional ($F=ma$): doppelte Kraft → doppelte Beschleunigung. (Dasselbe Auto: doppelte Motorkraft, doppelte Beschleunigung.)
3. $\overrightarrow{a}$ konstant → $\overrightarrow{F}$ und $m$ sind direkt proportional ($F=ma$): doppelte Masse braucht doppelte Kraft für dieselbe Beschleunigung. (Ein voller Einkaufswagen braucht mehr Kraft, um gleich schnell loszurollen.)

✎ $\overrightarrow{F}$, $\overrightarrow{a}$ sind Vektoren: die Beschleunigung zeigt immer in Richtung der resultierenden Kraft. Steht die Kraft quer zur Bewegung, ändert sie nur die Richtung (Kreisbahn, siehe §8.7), nicht das Tempo.

III. Axiom — Actio = Reactio

Stehen zwei Körper in Wechselwirkung, so sind die Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

$${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2$$

Kräfte treten immer paarweise auf. Die Wechselwirkung wird über Teilchen vermittelt (Wechselwirkungsteilchen (Austauschteilchen, die eine Kraft zwischen zwei Körpern übertragen, z. B. das Photon bei der elektromagnetischen Kraft) — vgl. die Grundkräfte).

Beispiele: Beim Absprung vom Boden drückst du nach unten auf die Erde, sie drückt mit gleicher Kraft nach oben auf dich (man sieht nur deine Bewegung, weil die Erde so schwer ist). Beim Absprung von einem gleich schweren Boot bewegt sich das Boot mit gleicher Geschwindigkeit rückwärts.

✎ Warum heben sich die beiden Kräfte nicht auf? Weil sie auf verschiedene Körper wirken: ${\overrightarrow{F}}_1$ wirkt auf Körper A, ${\overrightarrow{F}}_2$ auf Körper B. Aufheben können sich nur Kräfte, die am selben Körper angreifen. Beim Anwenden des 2. Axioms zählt darum für jeden Körper nur die Kraft, die auf ihn selbst wirkt — die Gegenkraft beeinflusst die Bewegung des anderen Körpers. Das 3. Axiom ist zugleich die Grundlage der Impulserhaltung (siehe §8.6).

Das Pferd-Wagen-„Paradoxon": „Das Pferd zieht den Wagen mit derselben Kraft, mit der der Wagen am Pferd zieht — also können sie sich nie bewegen?" Falsch: Die beiden Kräfte wirken auf verschiedene Körper (eine auf den Wagen, eine auf das Pferd) und können sich daher gar nicht aufheben. Das Pferd „krallt" sich zudem in den Boden: Es drückt die Erde nach hinten, die Erde drückt es (actio = reactio) nach vorn — diese Bodenkraft beschleunigt Pferd samt Wagen. Auf Glatteis fehlt genau diese Kraft, und das Pferd kommt tatsächlich nicht vom Fleck.

✎ Unterrichts-Anekdote: die zwei Maler (Deutung zur Orientierung): Zwei Maler malen je ein Bild — beide sehen aus wie „ein Strich auf weißem Papier": Das eine zeigt actio = reactio (die obere und die untere Bildhälfte „stemmen sich gegeneinander", 3. Axiom), das andere ein Teilchen, das mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus fliegt (1. Axiom). Prüfungsfrage: „Warum hat das Bild zum 1. Axiom gewonnen und das zum 3. verloren?" Plausible physikalische Deutung (Wortlaut nach Unterrichtserinnerung): Der gesamte physikalische Gehalt der gleichförmig geradlinigen Bewegung ist genau ein Strich — nichts zu sehen = keine Kraft, das Bild ist vollständig und treu; beim 3. Axiom dagegen wirken die beiden Kräfte auf verschiedene Körper, das statische „Gegeneinander-Stemmen" ist im Bild völlig unsichtbar und vom „es passiert gar nichts" nicht zu unterscheiden — das Bild kann seinen physikalischen Inhalt nicht tragen.